Редове

[Гост]

Намерете интервала на сходимост на реда:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!! n^{3}}[/tex] [tex](x-2)^{n}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$a_n=\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!n^3}\to0$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=...=\frac{(2n+3).n^3}{(2n+4).(n+1)^3}\to1$

$|x-2|\leq1$

$x\in[1;3]$

За х=1 е сходящ по Лайбниц - знакопроменлив. За х=3 е сходящ по Раабе-Дюамел - $n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\to\frac{7n^4+O(n^3)}{2n^4+O(n^3)}\to\frac{7}{2}>1$

[Kre4etalo]

За да приложим Лайбниц при $x=1$, трябва да сме сигурни, че общият член клони към 0 и то монотонно. Това в случая следва например от факта, че когато всички членове са положителни ($x=3$), редът е сходящ (проверено с Раабе-Дюамел). Оттук е необходимо общият член да клони към 0. Проверката за монотонност може да се извърши допълнително.
Обикновено се дава задача, при която границата в Раабе-Дюамел излиза под 1, така че съответният степенен ред не е сходящ в единия край (където знаците са постоянни). Тогава съответно не можем да заключим и че общият член клони към 0. Това все може да се потвърди, ако границата в Раабе-Дюамел е над 0 (макар и под 1). Важна Лема казва, че тогава редицата $\{a_n\}_{n\ge 1}$ клони към 0 и то монотонно.