Лице на фигура

[Гост]

Кръг е зададен с [tex]x^{2}+y^{2}\le 5^{2}[/tex].Да се пресметнат лицата на частите, на които се разделя кръга от параболата с уравнение y=[tex]x^{2}-5[/tex].

[Sup3rlum]

Screenshot_25.png (41.19 KiB) Прегледано 348 пъти

За да намерим пресечните точки, взимаме уравнението за горната част на кръга:

$x^2-5=\sqrt{25-x^2}$
$x^4-10x^2+25=25-x^2$
$x^4-9x^2=0$
$x^2(x^2-9)=0$
$x=0, \pm3$

За нулата знаем, че се пада на долната пресечна точка, която не ни трябва.

$S_{blue}=\int_{-3}^3\sqrt{25-x^2}-(x^2-5)dx = 25arcsin\bigg(\frac{3}{5}\bigg) + 24$

За двете червени:

$S_{red}= \frac{S_{total}-S_{blue}}{2}$

$S_{red}= \frac{25\pi - 25arcsin(3/5)-24}{2}$

[Гост]

А как се получи от [tex]\int\limits_{-3}^{3} \sqrt{25-x^{2}}-(x^{2}-5)dx[/tex]
[tex]25arcsin(\frac{3}{5})+24[/tex]?