2 елементарни интеграла

[mela]

Ще съм ви благодарна ако ми помогнете да ги реша

5464.JPG (5.55 KiB) Прегледано 633 пъти

[stflyfisher]

Ще съм ви благодарна ако ми помогнете да ги реша

5464.JPG

1 Задача: Не се разбира колко е степента и аргумента на cos.(имам предположение, че е 2, но....)

2 Задача: Интеграл от рационална функци на sin(x) и cos(x)=> използва се "универсалната субституция": [tex]tg \frac{x}{2}=t=>x=2arctgt=>dx=2\frac{dt}{1+t^2}[/tex]

[tex]sinx=\frac{2tg \frac{x}{2}}{1+tg^2 \frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]

[tex]cosx=\frac{1-tg^2 \frac{x}{2}}{1+tg^2 \frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex]

След заместване се получава интеграл от рационална функция на t.

[mela]

cos e na 2 stepen

[mela]

Само до тук стигнах

DSC03673.JPG (26.17 KiB) Прегледано 584 пъти

[stflyfisher]

cos e na 2 stepen

1 Задача: Табличен интеграл: [tex]\int \frac{du}{cos^2u}=tg u +C[/tex]

[ganka simeonova]

mela, гледах ти решението. Ти ползваш, доколкото разбтах, че [tex]\frac{1}{a+b } =\frac{1}{ a} +\frac{1}{b }[/tex]
Това е абсолютно погрешно!

[stflyfisher]

Само до тук стигнах

DSC03673.JPG

Снимката е много лоша и много не се разбира, но мисля че има много груба грешка.
Използвайки по-горе написаното за този интеграл се получава:

[tex]\int \frac{dx}{5+sin x+3cos x}=\int \frac{1}{5+\frac{2t}{1+t^2}+3.\frac{1-t^2}{1+t^2}}.\frac{2}{1+t^2}.dt=\int \frac{2}{5+5t^2+2t+3-3t^2}.dt=\int \frac{2}{2t^2+2t+8}.dt=\int\frac{dt}{t^2+t+4}=...[/tex]

[tex]\int\frac{dt}{t^2+t+4}[/tex] може да се реши по два начина:

1. Хорнерова субституция: [tex]t=z-\frac{b}{2a}=> dt=dz, z=t+\frac{b}{2a}[/tex]

2. Чрез допълване до точен квадрат в знаменателя.