Вярно или грешно

[Гост]

Съществува цяло положително число [tex]n[/tex], такова че [tex]\overline{nn}[/tex] е перфектен квадрат.

[Sup3rlum]

Ако представим $k^2=\overline{nn}=n.10^p+n$
Където $p$ е броят на цифрите на $n$

$k^2=n(10^p+1)$

От тук, според няколко фундаментални теореми и т.н. трябва и двата фактора да са точни квадрати за да може и $k^2$ да е точен квадрат.
Тъй като можем да изберем всяко $n$, остава да проверим дали $10^p+1$ може да е точен квадрат. За това разглеждаме:

$10^p+1=z^2$
$10^p=z^2-1$
$10^p=(z-1)(z+1)$

От тук няколко наблюдения:
1. Единственото факторизиране на $10^p=(2.5)^p=2^p.5^p$
2. Или и двата фактора са четни или и двата са нечетни
3. Няма как и двата да са нечетни, защото поне един трябва да съдържа $2^p$
4. Според дефиницията, когато $z-1 >> 2$ знаем че:

$z-1\equiv 0 \mod 5$ и
$z+1 \equiv 0\mod 5$

Което е естествено невъзможно.

Следоветлно няма две цели числа, с разлика две, които като се умножат дават точна степен на $10$
$\Rightarrow$ Първоначалното ни допускане, че има цяло число $z^2=10^p+1$ за цяло число $p$ не е вярно, и следователно
$\Rightarrow$ Няма естествено число $n$ където $\overline{nn}$ е точен квадрат.

[Гост]

Това включва ли и бипереодичните квадрати ?

[pal702004]

Нека $n$ е $k$ - цифрено число, т.е $10^{k-1}\le n<10^k$. Получава се уравнение

$y^2=n(10^k+1)$, както беше отбелязано по-горе. При това $1<\dfrac{10^k+1}{n}<10$

Дясната страна е квадрат, когато:

$10^k+1=xu^2$
$n=xv^2$

При това, естествено $u>v$, по-точно $1<\dfrac{u^2}{v^2}<10$

Така че е достатъчно $10^k+1$ да се дели на квадрат на цяло число (по-голямо от 1). Нищо по-просто. Понеже
$7\mid (10^3+1)$, то

$49\mid (10^{21}+1)$

тоест, $u=7$. Тогава $3\le v \le 6$

Направо първите 4 решения (вероятно най-малките):

$n=\dfrac{10^{21}+1}{49}\cdot v^2,\; v \in \{3,4,5,6\}$

[Гост]

Нещо такова :

[tex]\overline{nn} = (4 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 4093 \cdot 8779)^{2} = 36363636364^{2}[/tex]

[pal702004]

Нещо такова :

[tex]\overline{nn} = (4 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 4093 \cdot 8779)^{2} = 36363636364^{2}[/tex]

Хванах се за тази седмица... Разбира се, че щом $11 \mid (10^1+1)$, то $11^2\mid (10^{11}+1)$

Така че вашето решение е минимално.

Ех, не улучих минималното $k$, при което $10^k+1$ се дели на точен квадрат.
Нищо, важното е, че решения има и са безброй много.