Вектори

[Гост]

Нека К=О [tex]\vec{е1}[/tex] [tex]\vec{е2}[/tex] [tex]\vec{е3}[/tex] е координатна система в пространството.
Да се докаже, че правата АВ пресича равнината CDE, ако [tex]\vec{ОА}[/tex] = 2[tex]\vec{е1}[/tex] + [tex]\vec{е2}[/tex] - 3[tex]\vec{е3}[/tex] , [tex]\vec{OB}[/tex] = 4 [tex]\vec{e1}[/tex] - 2[tex]\vec{е2}[/tex] + 4[tex]\vec{е3}[/tex] , [tex]\vec{OC}[/tex] = [tex]\vec{е2}[/tex] , [tex]\vec{OD}[/tex] = 2[tex]\vec{е1}[/tex] + 2[tex]\vec{е2}[/tex],
[tex]\vec{OE}[/tex] = [tex]\vec{е2}[/tex] + [tex]\vec{е3}[/tex].
Да се намерят координатите на пресечната им точка М спрямо К.


Благодаря предварително

[Гост]

Трябва да намериш общо уравнение на равнината, което се получава по формулата за уравнение на равнина по зададени три точки (с една детерминанта там).
После пишеш скаларни параметрични уравнения на права през, да речем, точката А, с направление определено от вектора AB. Накрая търсиш пробода на тази права с равнината, като заместиш координатите на произволна точка от правата, в общото уравнение на равнината. Получава се линейно уравнение с едно неизвестно (параметръра на правата). Ако това уравнение няма решение, правата не пресича равнината. Ако има безброй решения, правата лежи в равнината, а ако има единствено решение, то това решение ти дава стойност на параметъра, която като заместиш в параметричните уравнения на правата получаваш координатите на единствената пресечна точка на правата и равнината.

[Гост]

Задачата обаче е от раздела алгебра, а този метод е от аналитичната геометрия.

Трябва да намериш общо уравнение на равнината, което се получава по формулата за уравнение на равнина по зададени три точки (с една детерминанта там).
После пишеш скаларни параметрични уравнения на права през, да речем, точката А, с направление определено от вектора AB. Накрая търсиш пробода на тази права с равнината, като заместиш координатите на произволна точка от правата, в общото уравнение на равнината. Получава се линейно уравнение с едно неизвестно (параметръра на правата). Ако това уравнение няма решение, правата не пресича равнината. Ако има безброй решения, правата лежи в равнината, а ако има единствено решение, то това решение ти дава стойност на параметъра, която като заместиш в параметричните уравнения на правата получаваш координатите на единствената пресечна точка на правата и равнината.

[Knowledge Greedy]

Даа, греда́!
То пък вярно, че между тези две дисциплини няма никаква връзка!?

[Гост]

На този етап, на който не сме стигнали до геометрия, мислиш ли че е удачно да напиша такова решение........?!?

Даа, греда́!
То пък вярно, че между тези две дисциплини няма никаква връзка!?

[Knowledge Greedy]

Ето реализация на решението, което предложи Гост » Пет Ное 22, 2019 2:11 am, с други изразни средства.

Как ще изглежда радиус-векторът [tex]\vec{OP}[/tex] на произволна точка [tex]P[/tex] от равнината [tex](CDE)[/tex] [tex](*)[/tex]
- Той ще е линейна комбинация на два вектора от равнината [tex](CDE)[/tex] - примерно [tex]\vec{CD}[/tex] и [tex]\vec{CE}[/tex]- а точно с тях разполагаме.
[tex]\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}[/tex]
Аналогично
[tex]\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}[/tex]
следователно [tex]\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{e_3}[/tex]
Всеки вектор [tex]\overrightarrow{OP}[/tex] на произволна точка [tex]P[/tex] от равнината [tex](CDE)[/tex] [tex](*)[/tex]
получаваме така
[tex]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}[/tex], където [tex]\overrightarrow{CP}[/tex] - е линейна комбинация на векторите [tex]\vec{CD}[/tex] и [tex]\vec{CE}[/tex], т.е.
[tex]\overrightarrow{CP}=\alpha\vec{CD}+\beta\vec{CE}[/tex]
или
[tex]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{e}_2+\alpha\vec{CD}+\beta\vec{CE}[/tex]
или още - като използваме дадената координатна система:
[tex]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{e}_2+\alpha\ (2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2})+\beta\overrightarrow{e_3}[/tex]
Подредено по базисните:
[tex]\overrightarrow{OP}=2 \alpha \overrightarrow{e}_1+(\alpha\ +1)\overrightarrow{e_2}+\beta \overrightarrow{e_3}[/tex] [tex](***)[/tex]

Заемаме се с правата [tex]AB[/tex].
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/tex]
...
[tex]\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{e}_1-3\overrightarrow{e_2}+7\overrightarrow{e_3}[/tex]

Радиус-векторът [tex]\vec{OQ}[/tex] на произволна точка [tex]Q[/tex] от правата [tex]AB[/tex] се задава така
[tex]\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AQ}[/tex]
където
[tex]\overrightarrow{AQ}=\gamma \overrightarrow{AB}[/tex]

[tex]\overrightarrow{OA}=2 \overrightarrow{e}_1+\overrightarrow{e_2}-3\overrightarrow{e_3}[/tex]

[tex]\overrightarrow{AQ}=2\gamma \overrightarrow{e}_1+\gamma \overrightarrow{e}_2-3 \gamma \overrightarrow{e_3}[/tex]
Следователно:
[tex]\overrightarrow{OQ}=(2+2\gamma) \overrightarrow{e}_1+(1-3\gamma) \overrightarrow{e}_2+(-3+7 \gamma) \overrightarrow{e_3}[/tex] [tex](**)[/tex]

От представянията [tex](**)[/tex] и [tex](***)[/tex], и теоремата за единственост, лесно се вижда - от системата
[tex]\begin{array}{|l} 2+2\gamma = 2\alpha \\ 1-3\gamma = \alpha \\ 7\gamma - 3 = \beta \end{array}[/tex]
- има единствено решение (формално - когато точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] съвпадат)
[tex]\begin{array}{|l} \alpha = \frac{5}{4} \\ \beta = -\frac{5}{4} \\ \gamma =\frac{1}{4} \end{array}[/tex]
което показва координатите на единствената обща точка на правата [tex]AB[/tex] и равнината [tex](CDE)[/tex]






____________

[Гост]

А могат ли x, y, z да се използват за означения вместо \alpha , \beta , \gamma ?

Ето реализация на решението, което предложи Гост » Пет Ное 22, 2019 2:11 am, с други изразни средства.

Как ще изглежда радиус-векторът [tex]\vec{OP}[/tex] на произволна точка [tex]P[/tex] от равнината [tex](CDE)[/tex] [tex](*)[/tex]
- Той ще е линейна комбинация на два вектора от равнината [tex](CDE)[/tex] - примерно [tex]\vec{CD}[/tex] и [tex]\vec{CE}[/tex]- а точно с тях разполагаме.
[tex]\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}[/tex]
Аналогично
[tex]\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}[/tex]
следователно [tex]\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{e_3}[/tex]
Всеки вектор [tex]\overrightarrow{OP}[/tex] на произволна точка [tex]P[/tex] от равнината [tex](CDE)[/tex] [tex](*)[/tex]
получаваме така
[tex]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}[/tex], където [tex]\overrightarrow{CP}[/tex] - е линейна комбинация на векторите [tex]\vec{CD}[/tex] и [tex]\vec{CE}[/tex], т.е.
[tex]\overrightarrow{CP}=\alpha\vec{CD}+\beta\vec{CE}[/tex]
или
[tex]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{e}_2+\alpha\vec{CD}+\beta\vec{CE}[/tex]
или още - като използваме дадената координатна система:
[tex]\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{e}_2+\alpha\ (2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2})+\beta\overrightarrow{e_3}[/tex]
Подредено по базисните:
[tex]\overrightarrow{OP}=2 \alpha \overrightarrow{e}_1+(\alpha\ +1)\overrightarrow{e_2}+\beta \overrightarrow{e_3}[/tex] [tex](***)[/tex]

Заемаме се с правата [tex]AB[/tex].
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/tex]
...
[tex]\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{e}_1-3\overrightarrow{e_2}+7\overrightarrow{e_3}[/tex]

Радиус-векторът [tex]\vec{OQ}[/tex] на произволна точка [tex]Q[/tex] от правата [tex]AB[/tex] се задава така
[tex]\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AQ}[/tex]
където
[tex]\overrightarrow{AQ}=\gamma \overrightarrow{AB}[/tex]

[tex]\overrightarrow{OA}=2 \overrightarrow{e}_1+\overrightarrow{e_2}-3\overrightarrow{e_3}[/tex]

[tex]\overrightarrow{AQ}=2\gamma \overrightarrow{e}_1+\gamma \overrightarrow{e}_2-3 \gamma \overrightarrow{e_3}[/tex]
Следователно:
[tex]\overrightarrow{OQ}=(2+2\gamma) \overrightarrow{e}_1+(1-3\gamma) \overrightarrow{e}_2+(-3+7 \gamma) \overrightarrow{e_3}[/tex] [tex](**)[/tex]

От представянията [tex](**)[/tex] и [tex](***)[/tex], и теоремата за единственост, лесно се вижда - от системата
[tex]\begin{array}{|l} 2+2\gamma = 2\alpha \\ 1-3\gamma = \alpha \\ 7\gamma - 3 = \beta \end{array}[/tex]
- има единствено решение (формално - когато точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] съвпадат)
[tex]\begin{array}{|l} \alpha = \frac{5}{4} \\ \beta = -\frac{5}{4} \\ \gamma =\frac{1}{4} \end{array}[/tex]
което показва координатите на единствената обща точка на правата [tex]AB[/tex] и равнината [tex](CDE)[/tex]






____________