Векторно пространство

[Гост]

Благодаря предварително

[Петър Евгениев]

[tex]U=\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
2b & a+c \\

\end{pmatrix}|a,b,c \in \mathbb{R}\}[/tex]
Ами трябва да провериш, дали [tex]U[/tex] е 1)Затворено относно събиране на "вектори"(матрици от този вид). 2)затворено относно умножение със скалар от полето на реалните числа в случая.
За произволни две матрици от [tex]u_{1},u_{2} \in U[/tex]
[tex]u_{1}+u_{2}= \begin {pmatrix}
a_{1} & b_{1} \\
2b_{1} & a_{1}+c_{1} \\ \end {pmatrix} + \begin {pmatrix}
a_{2} & b_{2} \\
2b_{2} & a_{2}+c_{2} \\ \end {pmatrix}=\begin {pmatrix} (a_{1}+a_{2}) & (b_{1}+b_{2}) \\ 2(b_{1}+b_{2}) & (a_{1}+a_{2})+(c_{1}+c_{2}) \\ \end {pmatrix}\in U[/tex] С [tex]\langle a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2}\rangle \in \mathbb{R}[/tex]
Защото в полето на реалните числа (и не само ) [tex]a_{1}+a_{2}, b_{1}+b_{2}, c_{1}+c_{2} \in \mathbb{R}[/tex]
Тоест събрахме 2 матрици от този вид и получихме отново матрица от такъв вид. Значи [tex]U\times U \rightarrow U. (u_{1},u_{2}) \rightarrow u_{1}+u_{2} \in U[/tex]
[tex]U[/tex] е затворено относно събиране на вектори.
Сега за произволен скалар [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex] и произволна матрица от този вид [tex]u \in U[/tex]
$$\lambda u= \begin {pmatrix} \lambda a &\lambda b \\ 2\lambda a & \lambda(a+c) \\ \end {pmatrix}\in U$$
защото за [tex]a,b,c \in \mathbb{R}[/tex] [tex]\lambda a, \lambda b, \lambda c \in \mathbb{R}[/tex] ( и [tex](a+c)\in \mathbb{R}[/tex], разбира се).
И значи [tex]\mathbb{R} \times U \rightarrow U; \lambda u \in U[/tex] за затворено относно умножение със скалар от полето над, което е дефинирано (реални числа).
Понеже [tex]U \in M_{2\times 2} (F)[/tex] е подмножество на всички 2 на 2 матрици с елементи от полето на реалните числа. А знаем, че всички матрици са линейно(векторно) пространство и значи е достатъчно да проверим, че е затворено относно + на вектори и умножение на вектор със скалар, защото 8-те аксиоми са в сила за [tex]M_{2 \times 2} (\mathbb{R}[/tex] и се унаследяват за [tex]U[/tex] като подмножество. Ако искаш си ги провери 1по една де.