Определен интеграл

[KOPMOPAH]

Ако онлайн калкулаторите са дали отговор $$F(x)=\frac{2\arctan\left(\frac{\displaystyle 13\tan\left(\frac{x}{2}\right)+12}{\displaystyle 5}\right)}{5}$$ или някой тъждествен на него израз, значи проблемът не е в тях.

Стандартният подход включва използването на универсалната тригонометрична субституция с тангенс на половината ъгъл $${\displaystyle\int}\dfrac{1}{12\sin\left(x\right)+13}\,\mathrm{d}x={\displaystyle\int}\dfrac{1}{\frac{24\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)+1}+13}\,\mathrm{d}x$$ $$u=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right) \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2} \Rightarrow \mathrm{d}x=\dfrac{2}{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}\,\mathrm{d}u=\dfrac{2}{u^2+1}\,\mathrm{d}u$$ с помощта на която интегралът придобива вида:$$2{\displaystyle\int}\dfrac{1}{13u^2+24u+13}\,\mathrm{d}u$$
Това е един табличен интеграл, но с учебна цел можем да го решим, например с отделяне на пълен квадрат:$${\displaystyle\int}\dfrac{1}{13u^2+24u+13}\,\mathrm{d}u=={\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(\sqrt{13}u+\frac{12}{\sqrt{13}}\right)^2+\frac{25}{13}}\,\mathrm{d}u$$
Правим втора субституция$$v=\dfrac{13u+12}{5} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u} = \dfrac{13}{5} \Rightarrow\mathrm{d}u=\dfrac{5}{13}\,\mathrm{d}v$$
и интегралът става$${\displaystyle\int}\dfrac{5}{25v^2+25}\,\mathrm{d}v=\dfrac{1}{5}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{v^2+1}\,\mathrm{d}v$$Последният интеграл е табличният$${\displaystyle\int}\dfrac{1}{v^2+1}\,\mathrm{d}v=\arctan\left(v\right)$$
Заместваме $v=\dfrac{13u+12}{5}$ в $$\dfrac{1}{5}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{v^2+1}\,\mathrm{d}v=\dfrac{\arctan\left(v\right)}{5}$$
и получаваме$$=\dfrac{\arctan\left(\frac{13u+12}{5}\right)}{5}$$
При следващото (и, слава богу - последно) заместване получаваме:$$=\dfrac{2\arctan\left(\frac{13\tan\left(\frac{x}{2}\right)+12}{5}\right)}{5}$$

Окончателно:$${\displaystyle\int}\dfrac{1}{12\sin\left(x\right)+13}\,\mathrm{d}x=\frac{2\arctan\left(\frac{\displaystyle 13\tan\left(\frac{x}{2}\right)+12}{\displaystyle 5}\right)}{5}+C$$

При изчисляването на определения интеграл се получава скромното до безобразие:$$\int\limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{12 \sin{\left(x \right)} + 13}\, \mathrm{d}x=\red{
\dfrac{2{\pi}}{5}}$$

Скрит текст: покажи

Както се досещаш, всичко по-горе е COPY/PASTE от ПРАВИЛЕН онлайн калкулатор, което само по себе си също не е малък мазохизъм, но какво не прави човек, за да помогне на нуждаещите се

[Гост]

точно такъв беше, но се надявах на нещо по-милостиво, помеже задачата е изпитна благодаря все пак

решението ти се вижда сложно и търсиш друг начин ли?

[vezni]

След като се намери примитивната [tex]F(x)[/tex], както Корморан е показал в решението[tex][/tex] си, има една особеност: [tex]\tan(x/2)[/tex] не е дефинирана в [tex]x=\pi[/tex] и интегралът не може да се пресметне чрез [tex]F(2\pi)-F(0)[/tex], което всъщност е [tex]0[/tex]. За целта интегралът се представя като сума
[tex]\int_0^{\pi}\dots\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}\dots\,dx[/tex] и двата се пресмятат поотделно.

[KOPMOPAH]

След като се намери примитивната [tex]F(x)[/tex], както Корморан е показал в решението[tex][/tex] си, има една особеност: [tex]\tan(x/2)[/tex] не е дефинирана в [tex]x=\pi[/tex] и интегралът не може да се пресметне чрез [tex]F(2\pi)-F(0)[/tex], което всъщност е [tex]0[/tex]. За целта интегралът се представя като сума
[tex]\int_0^{\pi}\dots\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}\dots\,dx[/tex] и двата се пресмятат поотделно.

Разумно и уместно допълнение.