Вероятност

[Гост]

Хвърлят се 10 зара. Каква е вероятността да се паднат равен брой единици и шестици?

Знам, че всички възможни случаи са общо 6 на 10 степен, но не мога да измисля как ще се изчисли броят на благоприятните случаи, твърде много случаи трябва да се разгледат, освен ако няма някакво по-общо решение, което не мога да измисля. Ще съм благодарен, ако помогнете

[peyo]

Можем да мислим по следния начин:
По колко възможности могат да се хвърлят 10 зара?
6^10 = 60466176

По колко възможности могат да се хвърлят 5 1-ци и 5 6-ци?
10!/(5!*5!)=252
Тогава:
p = 252/60466176 = 4.167619265355891e-06

Още не зная дали това е вярното решение.

[Гост]

Благоприятните случаи не са само тези, в които има 5 единици и 5 шестици.
Благоприятни са и случаите, когато имаме точно 1 единица и точно 1 шестица, като останалите осем зара са различни от 1-ца и 6-ца.
Също и когато имаме точно 2 единици и точно 2 шестици, а останалите шест зара са различни от 1-ца и 6-ца.
Аналогично за точно 3 единици и 3 шестици, и точно 4 единици и точно 4 шестици...
Проблемът е, че не знам как да изчисля точният брой на всички благоприятни случаи...

[peyo]

Благоприятните случаи не са само тези, в които има 5 единици и 5 шестици.
Благоприятни са и случаите, когато имаме точно 1 единица и точно 1 шестица, като останалите осем зара са различни от 1-ца и 6-ца.
Също и когато имаме точно 2 единици и точно 2 шестици, а останалите шест зара са различни от 1-ца и 6-ца.
Аналогично за точно 3 единици и 3 шестици, и точно 4 единици и точно 4 шестици...
Проблемът е, че не знам как да изчисля точният брой на всички благоприятни случаи...

Аха! Добре в такъв случай ще решим задачата по следния начин.

За пълнота ще вземем под внимание и случая когато когато имаме точно 0 единици и 0 шестици. Започваме да броим поотделно за всеки случай:
(python2 code, ** означава на степен)
a00 = 4**10
a16 = 10*9*(4**8)
a1166 = 10*9*8*7*(4**6)/(2*2)
a111666 = 10*9*8*7*6*5*(4**4)/(1*2*3*1*2*3)
a11116666 = 10*9*8*7*6*5*4*3*(4**2)/(1*2*3*4*1*2*3*4)
a1111166666 = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1/(1*2*3*4*5*1*2*3*4*5)
print "!", a00, a16,a1166,a111666,a11116666,a1111166666
all16 = sum([a00, a16,a1166,a111666,a11116666,a1111166666])
print all16, 6**10
print "result", all16/6**10

Резултат:

! 1048576 5898240 5160960.0 1075200.0 50400.0 252.0
13233628.0 60466176
result 0.218860011918

Вероятност доста по-голяма от очакваната ~20%.

[Гост]

оо да страхотна забележка за 0 единици и 0 шестици! благодаря за решението!

[vezni]

За хвърляне на точно [tex]5[/tex] единици и [tex]5[/tex] шестици вероятността е [tex]{10\choose 5}\left(\frac 16\right)^{10}[/tex]
За хвърляне на точно [tex]4[/tex] единици и [tex]4[/tex] шестици, вероятността е [tex]{10\choose 4}{6\choose 4}\left(\frac 16\right)^8\left(\frac 46\right)^2[/tex]
За хвърляне на точно [tex]3[/tex] единици и [tex]3[/tex] шестици, вероятността е [tex]{10\choose 3}{7\choose 3}\left(\frac 16\right)^6\left(\frac 46\right)^4[/tex]
и т.н. до [tex]0[/tex] единици и [tex]0[/tex] шестици. Тоест отговорът е
[tex]\sum_{k=0}^{5}{10\choose 5-k}{5+k\choose 5-k}\left(\frac{1}{6}\right)^{10-2k}\left(\frac 46\right)^{2k}=\frac{3308407}{15116544}\approx 0.21886[/tex]