Намиране на първа и втора производна

[scola]

Намерете
Първата производна на f(x)=2x/1-ln(x+1)
Втората производна на g(x)=x^4+2x^3-15+e^3x

[Добромир Глухаров]

$f(x)=\frac{2x}{1-ln(x+1)}\Rightarrow f'(x)=\frac{(2x)'.(1-ln(x+1))-(2x).(1-ln(x+1))'}{(1-ln(x+1))^2}=\\=\frac{2.(1-ln(x+1))-(2x).\left(-\frac{(x+1)'}{x+1}\right)}{(1-ln(x+1))^2}=\frac{2-2ln(x+1)+2x\cdot\frac{1}{x+1}}{(1-ln(x+1))^2}=\\=\frac{2(x+1)-2(x+1)ln(x+1)+2x}{(x+1)(1-ln(x+1))^2}=\frac{2(x+1)(2-ln(x+1))-2}{(x+1)(1-ln(x+1))^2}$

$g(x)=x^4+2x^3-15+e^{3x}\Rightarrow g'(x)=4x^3+6x^2+3e^{3x}\Rightarrow g''(x)=12x^2+12x+9e^{3x}$

При намирането производните на $g(x)$ са използвани следните правила за диференциране:

$(u(x)+v(x)+w(x)+\cdots)'=u'(x)+v'(x)+w'(x)+\cdots$
$(Cx^n)'=C.n.x^{n-1},\ n\geq1$
$(C)'=0$
$(C.e^{kx})'=C.k.e^{kx}$