Свойство на рекурентна редица

[Добромир Глухаров]

Здравейте,
Както си играех на калкулатора, попаднах на интересно свойство на следната редица (със сигурност вече известно, но ме домързя да търся):
$a_1=1;\ a_{k+1}=a_k+\frac{1}{a_k},\ k\in\mathbb{N}$
И нека дефинираме целочислената функция $f(n)$ по следния начин: $f(n)=\min_{a_k>n}k$
$\begin{array}{ccccccccccccccc}n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&...\\f(n)&2&3&5&8&13&18&24&32&40&50&60&72&84&...\\\frac{n^2}{2}&\frac{1}{2}&2&4\frac{1}{2}&8&12\frac{1}{2}&18&24\frac{1}{2}&32&40\frac{1}{2}&50&60\frac{1}{2}&72&84\frac{1}{2}&...\end{array}$
Дали можем да заключим, че $f(n)=\left[\frac{n^2}{2}\right],\ n\geq6$? И ако да, как може да се докаже?

Всъщност видях, че има отклонения: $f(188)=17\ 670$, a $\frac{188^2}{2}=17\ 672$. Може би е нещо като Теоремата на Чебишев за разпределението на простите числа - асимптотично вярно при $n\to\infty$