Комбинаторика

[Потребител1]

По колко различни начина може да се разположат n топа върху шахматна дъска с размери n x n квадратчета, така че никои два да не се атакуват

[peyo]

По колко различни начина може да се разположат n топа върху шахматна дъска с размери n x n квадратчета, така че никои два да не се атакуват

Първия топ можем да поставим върху $n * n = n^2$ позиции. Так махаме един ред и една колона от дъската на която можем да поставяме още топове. Остава ни дъска с (n-1) * (n-1) позиции. Значи формулата става:

$n^2(n-1)^2(n-2)^2 ... 2^2 1^2 = n!^2$

Добре но топовете най-вероятно няма да можем да ги раазличаваме един от друг. Затова делим на пермутациите им и крайния резултат става:

$k = n!^2$ / n! = n!$

[Потребител1]

Много благодаря

[Гост]

По колко различни начина може да се разположат n топа върху шахматна дъска с размери n x n квадратчета, така че никои два да не се атакуват

Първия топ можем да поставим върху $n * n = n^2$ позиции. Так махаме един ред и една колона от дъската на която можем да поставяме още топове. Остава ни дъска с (n-1) * (n-1) позиции. Значи формулата става:

$n^2(n-1)^2(n-2)^2 ... 2^2 1^2 = n!^2$

Добре но топовете най-вероятно няма да можем да ги раазличаваме един от друг. Затова делим на пермутациите им и крайния резултат става:

$k = n!^2$ / n! = n!$

Добре ако n=12 как се решава ?

[peyo]

По колко различни начина може да се разположат n топа върху шахматна дъска с размери n x n квадратчета, така че никои два да не се атакуват

Първия топ можем да поставим върху $n * n = n^2$ позиции. Так махаме един ред и една колона от дъската на която можем да поставяме още топове. Остава ни дъска с (n-1) * (n-1) позиции. Значи формулата става:

$n^2(n-1)^2(n-2)^2 ... 2^2 1^2 = n!^2$

Добре но топовете най-вероятно няма да можем да ги раазличаваме един от друг. Затова делим на пермутациите им и крайния резултат става:

$k = n!^2$ / n! = n!$

Добре ако n=12 как се решава ?

Aко n=12 се решава по същия начин.

А сега въпроси с повишена сложност. Как се решава същата задача ако $n = \pi$ ? Ами ако $n = -8$ ? Ако $n = 1+ i$?

[adilepomakova]

Здравейте , моля за помощ имам кратак срок да реша задачите.
Задача 1. Да се построят вариациите без повторение от три елемента (първи клас, втори клас, трети клас). Колко е техният брой? (Да се използват цифрите: 1, 2, 3.)
Задача 2. Да се запишат всички числа (едноцифрени, двуцифрени, трицифрени, четирицифрени) без повтарящи се цифри, наредени по големина и съставени от някои от цифрите: 1, 2, 3, 4. Колко е техният брой?
Задача 3. Да се запишат всички трицифрени числа, наредени по големина и съставени от някои от цифрите: 1, 2, 3. (Цифрите може да се повтарят.) Колко е техният брой?
Задача 4. Да се построят комбинациите без повторение от четири елемента (първи клас, втори клас, трети клас). Колко е техният брой? (Да се използват цифрите: 1, 2, 3, 4).
Да се намери: C_4^(0 )+ C_4^(1 )+ C_4^(2 )+ C_4^(3 )+ C_4^(4 ).
Задача 5. Да се построят комбинациите без повторение от пет елемента (първи клас, втори клас, трети клас, четвърти клас). Колко е техният брой? (Да се използват цифрите: 1, 2, 3, 4, 5).
Да се намери: C_5^(0 )+ C_5^(1 )+ C_5^(2 )+ C_5^(3 )+ C_5^(4 )+ C_5^(5 )
Задача 6. Да се построят комбинациите без повторение от шест елемента (първи клас, втори клас, трети клас, четвърти клас, пети клас). Колко е техният брой? (Да се използват цифрите: 1, 2, 3, 4, 5, 6).
Да се намери: C_6^(0 )+ C_6^(1 )+ C_6^(2 )+ C_6^(3 )+ C_6^(4 )+ C_6^(5 )+ C_6^(6 )
Задача 7. В урна са поставени осем еднакви топки – три сини, две бели и две червени и една зелена. Изваждаме едновременно три топки. Да се опишат всички възможни резултати от тези изваждания. Колко различни резултата могат да бъдат получени? (Забележка. Тройките ССБ и СБС показват един и същ резултат.)
Задача 8. Да се запишат всички пет цифрени числа, съставени от цифрите на числото 22 110. Колко е техния брой?
Задача 9. Да се запишат всички пет цифрени числа, съставени от цифрите на числото 11223. Колко е техния брой?
Задача 10. Разполагаме с четири еднакви молива и четири кутии, номерирани с числата: 1, 2, 3, 4. Всяка кутия може да хваща най-много 3 молива. Да се опишат всички възможни разпределения на моливите в кутиите. Колко на брой са тези разпределения?
Упътване. Едно възможно разпределение е следното: В кутия №1 – 1 молив, в кутия № 2 – 1 молив, в кутия № 3 – 2 молива, в кутия № 4 – 0 молива. Това разпределение може да се запише така 1120.
Задача 11. Да се намерят множителите на числото 2.53.72 (= 12 250). Колко е техният брой?
Задача 12. Колко „думи“ могат да се съставят от буквите на думата МАТЕМАТИКА?
Задача 13. Един фиш на ТОТО 2 съдържа 6 (различни) числа. Колко различни фиша трябва да „пуснем“ в предстоящия тираж, за да е сигурно че, ще улучим „шестица“? (Числата на ТОТО 2 са от 1 до 49.)
Задача 14. Ако всеки номер на автомобила съдържа две букви от българската азбука, последвани от 4 цифри, то колко автомобила могат да бъдат регистрирани?
Задача 15. Телефонните номера на една компания са 6-цифрени. Колко най-много абонати може да има компанията?
Упътване. Телефонен номер може да започва с цифрата 0.
Забележка. Ако комбинаторните съединения в решенията на задачите от 1 до 11 са онагледени с помощта на дендрограми, то текстовете, обясняващи построението стават излишни.

[peyo]

Задача 13. Един фиш на ТОТО 2 съдържа 6 (различни) числа. Колко различни фиша трябва да „пуснем“ в предстоящия тираж, за да е сигурно че, ще улучим „шестица“? (Числата на ТОТО 2 са от 1 до 49.)

Ха! Тази задача ме връща във времето!

Целта е да пуснем фиш за всяка възможна шестица. Тогава за първото число имате 49 възможности, за второто 48 стават 49*48 и така нататък 49*48*47*46*45*44. Дотук добре, но подредбата на числата в шестицата не е от значение, затова ще делим на възможните подреждания на група оъ 6 числа, което е 6! и така нашич резулат е:

In [35]: 49*48*47*46*45*44/(6*5*4*3*2*1)
Out[35]: 13983816

Чудесно! Един фиш струва 1.10лв значи
In [36]: 13983816*1.1
Out[36]: 15382197.6

Или около 15.3 милиона лева за да пуснем всички фишове. В момента джакпота е 3750000 милиона. Мисля, че само 50% от печалбите отиват за награди, тогава -15382197 + 15382197/2 + 3750000 = -3941098.5 или ще сме само около 3-4 милиона на загуба (в зависимост колко оше хора ще играят за следващия тираж и никой друг не спечели 6-ца), което е стратегия за сигурна загуба.

[peyo]

Задача 10. Разполагаме с четири еднакви молива и четири кутии, номерирани с числата: 1, 2, 3, 4. Всяка кутия може да хваща най-много 3 молива. Да се опишат всички възможни разпределения на моливите в кутиите. Колко на брой са тези разпределения?
Упътване. Едно възможно разпределение е следното: В кутия №1 – 1 молив, в кутия № 2 – 1 молив, в кутия № 3 – 2 молива, в кутия № 4 – 0 молива. Това разпределение може да се запише така 1120.

Това е смешна задача!

Първо да намерим колко случая имаме когато сложим 3 молива в една кутия? Тоест 3 и 1 на 4 места по колко начина можем да ги сложим? 3 -ката можем да 4 позиции а 1-цата на 3, стават 3*4=12
След това 2 и 2 за първата 2-ка 4, за втората 3, стаеват 3*4=12, но ние не можем да различим двете двойки, затова 12/2 = 6
След това 2,1,1. 2-ката на 4, единицата на 3, другата единица на 2 4*3*2=24, но ние не можем да различин двете единици, значи 24/2=12
След товва 1,1,1,1 само по 1 начин.
Общо
12+6+12+1=31

Забележка. Ако комбинаторните съединения в решенията на задачите от 1 до 11 са онагледени с помощта на дендрограми, то текстовете, обясняващи построението стават излишни.

Ха! Научих нова дума "дендрограма"! Само не знам какво означава. Нищо, да пробваме да отгатнем!

Дендрограма може да бъде най-горната част на синьо боядисан прът на знаме.

Може да е нещо за ядене в сладкарницата.
— Искам да купя една кесия дендрограма, но да е хрускава.

Или пък в железарията:
- Искам да купя дендрограма, но да е много доброкачествена — от ония, с които убиват лъвове.

Или пък е болест!
— Боя се, че съм хванала дендрограма — каза тя. — Защото ме сърби цялото тяло. А очите ми съвсем се затварят, когато спя. Понякога хълцам. Пък миналата неделя ми стана лошо, след като изядох една чиния вакса с мляко. Имам доста добър апетит, но много често храната ми отива в кривото гърло, а тогава човек просто няма полза от нея. Сигурно ме е налегнала дендрограма. Кажете ми само едно — заразно ли е?