Здравейте ,моля за помощ /Задачи с полиноми

[katiq_dimitrova]

Здравейте ,моля за помощ за решението на тези задачи :

Зад.1Намерете най-големия общ делител d(x) на полиномите с рационални коефициенти f(x) и g(x) , където:
f(x)= x4+x3-x2-2x-2
g(x)=x3+6x2+6x+5

Зад.2 Определете кратността на корена а=1 за полинома:
f(x) =x8+x7+3x5-6x4+3x3+8x2-x-3

Зад.3 Да се намерят стойностите на параметръра [tex]\lambda[/tex] ,за които произведението на два от корените на уравнението
x4 +4x3+9x2+20x +[tex]\lambda[/tex] = 0 е равно на произведението на другите два корена .

Зад.4 Да се разложат на неразложими множители над полето на рационалните числа полиномите :
1)f(x)=x5-3x4+x3-3x2+x-3
2)f(x)=x4-4x3+x2-24x+5

[peyo]

Зад.3 Да се намерят стойностите на параметръра [tex]\lambda[/tex] ,за които произведението на два от корените на уравнението
x4 +4x3+9x2+20x +[tex]\lambda[/tex] = 0 е равно на произведението на другите два корена .

Ok, да запалим Sympy и да видим какво ще стане:

In [116]: la = var("\\lambda")

In [117]: p = poly(x**4 +4*x**3+9*x**2+20*x + la, x)

In [118]: print(latex(p))
$\operatorname{Poly}{\left( x^{4} + 4 x^{3} + 9 x^{2} + 20 x + \lambda, x, domain=\mathbb{Z}\left[\lambda\right] \right)}$

In [119]: u1 = p - (x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)*(x-x_4)

In [120]: for sol in solve(u1.coeffs() + [x_1*x_2 - x_3*x_4]):
...: print("$"+ latex(sol) + "$")
...:
$\left\{ \lambda : 25, \ x_{1} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{4 \sqrt{5} + 11}}{2}, \ x_{2} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-20 + \left(2 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2}, \ x_{3} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 - \frac{i \sqrt{11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{4} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{-11 + 4 \sqrt{5}}}{2}\right\}$
$\left\{ \lambda : 25, \ x_{1} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{4 \sqrt{5} + 11}}{2}, \ x_{2} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-20 + \left(2 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2}, \ x_{3} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 + \frac{i \sqrt{11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{4} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{-11 + 4 \sqrt{5}}}{2}\right\}$
$\left\{ \lambda : 25, \ x_{1} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{2} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{-20 + \left(2 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2}, \ x_{3} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 - \frac{i \sqrt{11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{4} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{-11 + 4 \sqrt{5}}}{2}\right\}$
$\left\{ \lambda : 25, \ x_{1} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{2} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{-20 + \left(2 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2}, \ x_{3} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 + \frac{i \sqrt{11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{4} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{-11 + 4 \sqrt{5}}}{2}\right\}$
$\left\{ \lambda : 25, \ x_{1} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 - \frac{i \sqrt{11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{2} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{-11 + 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{3} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{4 \sqrt{5} + 11}}{2}, \ x_{4} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-20 + \left(2 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2}\right\}$
$\left\{ \lambda : 25, \ x_{1} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 - \frac{i \sqrt{11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{2} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{-11 + 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{3} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{4} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{-20 + \left(2 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2}\right\}$
$\left\{ \lambda : 25, \ x_{1} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 + \frac{i \sqrt{11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{2} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{-11 + 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{3} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{4 \sqrt{5} + 11}}{2}, \ x_{4} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-20 + \left(2 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2}\right\}$
$\left\{ \lambda : 25, \ x_{1} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 + \frac{i \sqrt{11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{2} : - \frac{\sqrt{5}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{-11 + 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{3} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{-11 - 4 \sqrt{5}}}{2}, \ x_{4} : -1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{-20 + \left(2 - \sqrt{5}\right)^{2}}}{2}\right\}$


Да видим какво получихме? Докато имаме различни стойности за x_1,2,3,4 to за $\lambda$ имаме само стойност 25, значи това е и отговора на задачата.

[peyo]

Зад.3 Да се намерят стойностите на параметръра [tex]\lambda[/tex] ,за които произведението на два от корените на уравнението
x4 +4x3+9x2+20x +[tex]\lambda[/tex] = 0 е равно на произведението на другите два корена .

...
Да видим какво получихме? Докато имаме различни стойности за x_1,2,3,4 to за $\lambda$ имаме само стойност 25, значи това е и отговора на задачата.

Решаването на системата от Sympy е лесно, но за човек ще е много трудно, по-вероятно невъзможно, затова ми се струва, че трябва да има доста по-лесно решение. С малко налучкване получих следната формула.

Ако имаме уравнение:
$x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + \lambda =0$

To стойностите на параметъра $ \lambda$ ,за които произведението на два от корените е равно на произведението на другите два корена е:

$\lambda = \frac{c^2}{a^2}$

Сега само остава да измисля доказателството.

[vezni]

Зад.3 Да се намерят стойностите на параметръра [tex]\lambda[/tex] ,за които произведението на два от корените на уравнението
x4 +4x3+9x2+20x +[tex]\lambda[/tex] = 0 е равно на произведението на другите два корена .

Нека корените на уравнението са $x_1,x_2,x_3,x_4$ и нека $x_1x_2=x_3x_4=p\;(*)$. От формулите на Виет
$x_1+x_2+x_3+x_4=-4$ и $x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4=-20$. Като използваме $(*)$ във второто равенство, получаваме
$p(x_1+x_2+x_3+x_4)=-20\Rightarrow p=\frac{-20}{-4}=5$. Пак от формулите на Виет $x_1x_2x_3x_4=\lambda\Rightarrow \lambda=p^2=25$.
Проверка при $\lambda=25$: $x^4+4x^3+9x^2+20x+25=0\Leftrightarrow (x^2+(2+\sqrt 5)x+5)(x^2+(2-\sqrt 5)x+5)=0$
Ако корените на двата квадратни тричлена са съответно $x_1,x_2$ и $x_3,x_4$, следва, че $x_1x_2=5$ и $x_3x_4=5$, тоест $x_1x_2=x_3x_4$.

[pal702004]

Ако имаме уравнение:
$x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + \lambda =0$

To стойностите на параметъра $ \lambda$ ,за които произведението на два от корените е равно на произведението на другите два корена е:

$\lambda = \frac{c^2}{a^2}$

Сега само остава да измисля доказателството.

Нека $x_1x_4=x_2x_3=t$ . От формулите на Виет имаме

$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-c$

Което си е точно
$tx_1+tx_2+tx_3+tx_4$

Също така, пак от Виет $x_1+x_2+x_3+x_4=-a$

Откъдето $t=\dfrac c a$

Освен това $\lambda=x_1x_2x_3x_4=t^2$