Задача с параметър

[Гост]

Дали ще може малко помощ
Дадено е уравнението 4[tex]x^{2 }[/tex]+4(m-1)x+3-m=0, където m реален параметър. Да се намерят стойностите на m, така че уравнението да има два различни реални корена [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] и да е в сила неравенството 4[tex]x^{3 } _{1 }[/tex] + 4[tex]x^{3 } _{2 }[/tex] + 1 > m

[peyo]

Дали ще може малко помощ
Дадено е уравнението 4[tex]x^{2 }[/tex]+4(m-1)x+3-m=0, където m реален параметър. Да се намерят стойностите на m, така че уравнението да има два различни реални корена [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] и да е в сила неравенството 4[tex]x^{3 } _{1 }[/tex] + 4[tex]x^{3 } _{2 }[/tex] + 1 > m

$y(x)= + 4 x^{2} + x \left(4 m - 4\right) + 3 - m$

Това е парабола с чашата нагоре. За да има различни реални корена чашата трябва да пресича оста Х.

$y' = 8 x - 4 + 4 m $

$8 x - 4 + 4 m = 0$

$x = (1-m)/2$

$y((1-m)/2)= y_m = -m^2 + m + 2$

$y_m<0$

$-m^2 + m + 2<0$

$(m+1)(m-2)<0$

$ m < -1 , m > 2$

Това са стойностите за m за които параболата има два различни реални корена.

$4x^{3 } _{1 }+ 4x^{3 } _{2 }+ 1 > m$

$f(m)=4x^{3 } _{1 }+ 4x^{3 } _{2 }+ 1 - m$

$f(m)>0$

Ние можем да намерим корените:
$\left[ x_1=- \frac{m}{2} - \frac{\sqrt{\left(m - 2\right) \left(m + 1\right)}}{2} + \frac{1}{2}, \ \ x_2 = \ - \frac{m}{2} + \frac{\sqrt{\left(m - 2\right) \left(m + 1\right)}}{2} + \frac{1}{2}\right]$

Заместваме:

$f(m) = - m + 4 \left(- \frac{m}{2} - \frac{\sqrt{\left(m - 2\right) \left(m + 1\right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} + 4 \left(- \frac{m}{2} + \frac{\sqrt{\left(m - 2\right) \left(m + 1\right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} + 1$

Опростяваме:
$f(m) = - 4 m^{3} + 9 m^{2} - m - 4$

Уравнение от 3-та степен. Да видим минимуми максимуми:
$f' = - 12 m^{2} + 18 m - 1$

$f'=0$

$m_1,m_2=\left[ \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{69}}{12}, \ \frac{\sqrt{69}}{12} + \frac{3}{4}\right] = (0.05778134475682709, 1.4422186552431728)$

Тези минимум и максимум са между -1 и 2 намерени от първата стъпка. Достатъчно е да видим стойностите в краищата на интервала само:
$f(-1)=10$
$f(2)=-2$

Краен отговор $m<-1$.

[grav]

Ние можем да намерим корените:
$\left[ x_1=- \frac{m}{2} - \frac{\sqrt{\left(m - 2\right) \left(m + 1\right)}}{2} + \frac{1}{2}, \ \ x_2 = \ - \frac{m}{2} + \frac{\sqrt{\left(m - 2\right) \left(m + 1\right)}}{2} + \frac{1}{2}\right]$

Заместваме:

$f(m) = - m + 4 \left(- \frac{m}{2} - \frac{\sqrt{\left(m - 2\right) \left(m + 1\right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} + 4 \left(- \frac{m}{2} + \frac{\sqrt{\left(m - 2\right) \left(m + 1\right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{3} + 1$

Опростяваме:
$f(m) = - 4 m^{3} + 9 m^{2} - m - 4$

[tex]4x_1^3+4x_2^3=4(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=4(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2][/tex]

Плюс форумулите на Фиет.

[S.B.]

Дали ще може малко помощ
Дадено е уравнението 4[tex]x^{2 }[/tex]+4(m-1)x+3-m=0, където m реален параметър. Да се намерят стойностите на m, така че уравнението да има два различни реални корена [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] и да е в сила неравенството 4[tex]x^{3 } _{1 }[/tex] + 4[tex]x^{3 } _{2 }[/tex] + 1 > m

Задачата се решава със знанията на деветокласниците.Защо е поставена в раздел "Висша математика" би могъл да отговори евентуално питащият Гост

[tex]4x^{2 } + 4(m-1)x + 3 - m = 0[/tex]
За да има 2 различни корена е необходимо да бъде изпълнено $D>0$
[tex]D = 4^{2 } (m - 1)^{2 } - 4.4(3 - m) > 0 \Leftrightarrow m^{2 } - m - 2 >0 \Leftrightarrow (m + 1)(m - 2)>0[/tex]
По метода на интервалите се определя Д.М. за $m$ :
$$m \in (- \infty ; -1) \cup (2; + \infty )$$

[tex]4 x_{1 } ^{3 } + 4 x_{2 } ^{3 } + 1 > m \Leftrightarrow 4( x_{1 } ^{3 } + x_{2 } ^{3 }) + 1 >m \Leftrightarrow 4( x_{1 } + x_{2 })( x_{1 } ^{2 } - x_{1 } x_{2 } + x_{2 } ^{2 }) - 1 >m \Leftrightarrow[/tex]
[tex]4( x_{1 }+ x_{2 })( ( x_{1 } + x_{2 } )^{2 } -3 x_{1 } x_{2 }) - 1 >m[/tex]
От формулите на Виет се получава:
$$ x_{1 } + x_{2 } = 1 -m , x_{1 } x_{2 } = \frac{3 - m}{4} $$
Неравенството добива вида:
[tex]4(1 - m)[ (1 - m)^{2 } - 3 \frac{3 - m}{4}] + (1 -m) > 0 \Leftrightarrow[/tex] (след преработка ) [tex](1-m)(4 m^{2 } - 5m -4) > 0[/tex]
За квадратния тричлен : [tex]D = 89 , x_{1,2 } = \frac{5 \pm \sqrt{89} }{8 } \Rightarrow m_{1 } \approx 1,8 , m_{2 } \approx - 0,55[/tex]
Тогава [tex](1 - m)(4 m^{2 } - 5m - 4) >0 \Leftrightarrow (1 - m)(m - 1,8) (m + 0,55) > 0[/tex]
По метода на интервалите :
$$m \in (- \infty ; -0,55) \cup (1 ; 1,8)$$
Решенето е сечението на решенията на двете неравенства:

Без заглавие - 2022-01-17T130309.436.png (213.99 KiB) Прегледано 214 пъти

Отговорът е:
$$m \in (- \infty ; -1) \Leftrightarrow m< -1$$