Намерете ДМ, ЕКСТРЕМУМ И ИНФЛЕКСНИ ТОЧКИ

[Гост]

Намерете ДМ, ЕКСТРЕМУМ И ИНФЛЕКСНИ ТОЧКИ
f(x)=( 2x+lnx)/x

[nikola.topalov]

Функцията $$f(x)=\dfrac{2x+\ln x}{x}$$ е дефинирана в множеството [tex]D=\{x\in\mathbb{R}|x>0\}[/tex]. Първата производна [tex]f'(x)[/tex] на функцията пресмятаме $$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$$ и виждаме, че се анулира за [tex]x=e\in D[/tex]. Лесно установяваме, че в интервала [tex]0<x<e[/tex] първата производна приема положителни стойности, а за [tex]x>e[/tex] приема отрицателни. Това означава, че за [tex]x=e[/tex] функцията [tex]f(x)[/tex] има локален максимум (който се оказва глобален), който намираме като заместим: $$f_{\max}(x)=f(e)=\dfrac{2e+1}{e}$$ Сега пресмятаме и втората производна [tex]f''(x)[/tex]: $$f''(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}$$ с помощта на която намираме инфлексната точка [tex]x=e\sqrt{e}\in D[/tex].