Ромб

[Гост]

Даден е ромб ABCD. Построен е равностранен [tex]\triangle[/tex]CDM, така че точките M и B лежат в различни полуравнини спрямо правата CD. Построен е равностранен [tex]\triangle[/tex]ADK, така че точките K и B лежат в една и съща полуравнина спрямо правата AD. Докажете, че точките M, K и B лежат на една права.

[nikola.topalov]

Ще докажем, че [tex]\sphericalangle DBK+\sphericalangle DBM=180^\circ[/tex]. Имаме, че [tex]CB=CD=CM[/tex] по условие, следователно центърът на описаната окръжност около [tex]\triangle BMD[/tex] съвпада с точка [tex]C[/tex]. Тогава [tex]\sphericalangle DBM=\dfrac{1}{2}\overset{\large\frown}{DM}=\dfrac{1}{2}\sphericalangle DCM=30^\circ[/tex]. По същата логика точка [tex]A[/tex] съвпада с центъра на описаната окръжност около [tex]\triangle DKB[/tex]. Тогава мярката на дъгата [tex]\overset{\large\frown}{DK}[/tex], несъдържаща точка [tex]B[/tex], е [tex]360^\circ-60^\circ=300^\circ[/tex] и следователно [tex]\sphericalangle DBK=\dfrac{1}{2}\times300^\circ=150^\circ[/tex]. Наистина [tex]\sphericalangle DBK+\sphericalangle DBM=150^\circ+30^\circ=180^\circ[/tex], тоест трите точки са колинеарни.

geogebra-export (26).png (83.21 KiB) Прегледано 342 пъти

[Гост]

aaa, strahotno reshenie...