Задача с модули

[Гост]

Някой ще може ли да помогне?
Да се изчисли лицето на фигурата, зададена с неравенството
[tex]|y|^{ }[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]7^{ }[/tex] - [tex]||x|-1|^{ }[/tex] - [tex]||x|-5|^{ }[/tex]

[Davids]

Някой ще може ли да помогне?
Да се изчисли лицето на фигурата, зададена с неравенството
[tex]|y|^{ }[/tex] [tex]\le[/tex] [tex]7^{ }[/tex] - [tex]||x|-1|^{ }[/tex] - [tex]||x|-5|^{ }[/tex]

Нека $G$ е дадената област, а с $S(G)$ бележим лицето й.
Първото наблюдение, което можем да направим, е че областта е симетрична спрямо x (ординатата) и спрямо y (абсцисата), понеже и двете променливи участват само със своя модул. Значи е достатъчно да ограничим фигурата в един квадрант (най-удобен е канонично първи), а цялото лице ще е четири пъти толкова. Както казахме, харесваме си първи, т.е. въвеждаме допълнителните ограничения на новата област $G^* = G\cap\{x, y \ge 0\}$, при което $S(G) = 4S(G^*)$. Освен това пресмятането на $S(G^*)$ ще можем да извършим чрез директно интегриране с единичен интеграл, понеже $G^*$ е от вида $0 \le y \le f(x)$ ( което е същото като лице под функцията $f(x)$, за което се ползват и определените единични интеграли).

И така, областта $G^*$ придобива вида: $\begin{array}{|l}0\le x, y \\ y \le 7 - |x-1| - |x - 5| \end{array}$ и се заемаме с модулите. От ключов интерес за знака при разкриването им са точките $x\in \{1, 5\}$, значи разглеждаме три случая:

I) $0 \le x \le 1$:
Разкривайки модулите, получаваме $0 \le y \le 7 + (x-1) + (x-5) = 2x + 1$.
Значи лицето на тази част е $\int_0^1(2x+1)dx = \Bigl[x^2 + x \Bigr]_0^1 = 2$

II) $1 \le x \le 5$:
Аналогично, получаваме ограничението $0 \le y \le 7 - (x-1) + (x-5) = 3$.
Значи лицето на тази част е $(5 - 1)\cdot 3 = 12$

III) $5 \le x$:
Тук имаме $0 \le y \le 7 - (x-1)-(x-5) = 13 - 2x$. Оттук излиза и второто ограничение за $x$: $x \le \frac{13}{2}$.
Значи лицето тук е $\int_5^\frac{13}{2}(13-2x)dx = \Bigl[13x-x^2\Bigr]_5^\frac{13}{2} = \frac{9}{4}$

Събираме трите и получаваме $S(G^*) = 2 + 12 + \frac{9}{4} = \frac{65}{4}$, откъдето и $S(G) = 4S(G^*) = 64$.

Прилагаме и графика за визуална подкрепа на идеята: цък

Надявам се да няма изчислителни грешки.