Корени

[Гост]

Някой ще може ли да обясни тази задача?

6.jpg (12.84 KiB) Прегледано 1408 пъти

[Davids]

$X = \sqrt{a\sqrt{b\sqrt{a\sqrt{b\sqrt{a\sqrt{b...}}}}}} = a^\frac{1}{2}b^\frac{1}{4}a^\frac{1}{8}b^\frac{1}{16}a^\frac{1}{32}b^\frac{1}{64}... = a^{\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n + 1}}}\cdot b^{\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}}}$

Сега, правейки наблюдението, че $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n + 1}} = 2\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}}$, всичко се свежда до това да пресметнем $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}}$, което е нищо повече от геометричен ред, за който пък ни е добре познато, че:
$\sum_{n = 0}^{\infty}r^n = \frac{1}{1-r}$ за $|r| < 1$.

Тогава:
$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}} = -1 + \sum_{n = 0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^n = -1 + \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$

И така $X = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}$, с което приключва а).

б) е лесна оттук нататък, само че не разбирам какво точно има да се намира. Ако заместим директно, получаваме $\sqrt[3]{12}$, но това не ми се струва като равносилно трудна подточка... да не се искат десетични приближения на стойността?

[grav]

Може и така
[tex]X = \sqrt{a\sqrt{b\sqrt{a\sqrt{b\sqrt{a\sqrt{b...}}}}}}[/tex]

[tex]X^2=a\sqrt{b\sqrt{a\sqrt{b\sqrt{a\sqrt{b...}}}}}[/tex]

[tex]X^4=a^2b\sqrt{a\sqrt{b\sqrt{a\sqrt{b...}}}}=a^2bX[/tex]

[tex]X^3=a^2b[/tex]