Редица от реални числа

[Гост]

Някой, може ли да помогне с тази редица
Дадена е редицата от реални числа [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex],..., за която [tex]a_{1 }[/tex] = 1 и [tex]a_{n+1 }[/tex] = [tex]\sqrt{2+ a_{n } }[/tex], за n = 1,2,...
а) Да се докаже, че 0<[tex]a_{n }[/tex]<2 за всяко n = 1,2,...
б) Докажете, че дадената редица е монотонна
в) Докажете, че дадената редица е сходяща и намерете нейната граница

[peyo]

Някой, може ли да помогне с тази редица
Дадена е редицата от реални числа [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex],..., за която [tex]a_{1 }[/tex] = 1 и [tex]a_{n+1 }[/tex] = [tex]\sqrt{2+ a_{n } }[/tex], за n = 1,2,...
а) Да се докаже, че 0<[tex]a_{n }[/tex]<2 за всяко n = 1,2,...
б) Докажете, че дадената редица е монотонна
в) Докажете, че дадената редица е сходяща и намерете нейната граница

а)

Имаме
[tex]a_{n} = \sqrt{2+ a_{n-1 } }[/tex]

Да видим кога $a_{n} $ ще е [tex]\ge[/tex] 2:

[tex]\sqrt{2+ a_{n -1} } \ge 2[/tex]
[tex]2 + a_{n -1} \ge 4[/tex]
[tex]a_{n -1} \ge 2[/tex]
Но това за да стане трябва
[tex]a_{n -2} \ge 2[/tex]
Но това за да стане трябва
[tex]a_{n -3} \ge 2[/tex]
И така нататък докато стигнем до :
[tex]a_{1} \ge 2[/tex]
[tex]1 \ge 2[/tex]

Което е противоречие, значи никой член не може да е [tex]\ge[/tex] от 2.

Next б)

...следва продължение

[peyo]

Някой, може ли да помогне с тази редица
Дадена е редицата от реални числа [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex],..., за която [tex]a_{1 }[/tex] = 1 и [tex]a_{n+1 }[/tex] = [tex]\sqrt{2+ a_{n } }[/tex], за n = 1,2,...
...
б) Докажете, че дадената редица е монотонна
...

По дефиниция за монотонна растяща трябва да докажем, че:

[tex]a_{n+1 } \ge a_{n }[/tex]

[tex]\sqrt{2+ a_{n } } \ge a_{n }[/tex]

[tex]2+ a_{n } \ge a_{n }^2[/tex]

[tex]0 \ge a_{n }^2 - a_{n } - 2[/tex]

[tex]0 \ge (a_{n }- 2)(a_{n } +1 )[/tex]

В а) доказахме, че $a_{n } $ <2, значи първата част е винаги отрицателна. Сега се сещам, че не сме доказали, че $a_{n } $ > 0, но понеже първото $a_{n } $ е 1, то даже по силното твърдение е вярно $a_{n } \ge $ 1 (може да го докажем по-късно, ако не забравим).
Тогава горното неравенство винаго е изпълнено, следва дадената редица е монотонна.