Двоен интеграл. Област единична окръжност.

[JuicyJ]

Благодаря ви за предните постово реших задачите,сега обаче ме затрудни една друга
[tex]\int_{}^{ } \int_{}^{ }\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} dxdy[/tex]
Областа е : [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]

Получавам 0 , а отговорът е [tex]\frac{\2 \pi }{3 }[/tex]

[L.e.o]

Виж темата, която е почти под твоята.
viewtopic.php?f=7&t=3334

[JuicyJ]

Знам ,че се използват полярни координати,така и го правя !
Получавам :
"ро" е от 0 до 1
"фи" от от 0 до 2[tex]\pi[/tex]

x=ро по косинус фи
у= ро по синус фи

под корена се получава : (1 - ро на втора) ?

После пак като инегрирам и заместя с границите получавам 0 .. , къде бъркам

[allier]

Имаш корен квадратен в интеграла - как по-точно получаваш 0, след като очевидно числото трябва да е положително.

[JuicyJ]

Да "ро" е на втора но когато стойността му е 1 се получава нула ..

[JuicyJ]

казаха ми ,че като получа в числителя 0 на един от двата интеграла дали де-ро или де-фи ,целият интеграл не е равен на нука а просто там където се е получило нула го вземам като единица ?

[R Flavius]

След извършване на полярната смяна интегралът добива вида:
[tex]\int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{1 } \sqrt{1-p^{2}}pdpd\varphi[/tex]
[tex]=>\int_{0}^{2\pi } d\varphi \int_{0}^{1 } \sqrt{1-p^{2}}pdp=2\pi \int_{0}^{1 }\sqrt{1-p^{2}}d\frac{p^{2}}{2 }=[/tex]
[tex]-\pi \int_{0}^{1 } \sqrt{1-p^{2}} d(-p^{2})=-\pi \int_{0}^{1 } \sqrt{1-p^{2}} d(1-p^{2})=-\pi \frac{2}{3 }(1-p^{2})^{\frac{3}{ 2} }[/tex] от нула до едно
[tex]=> -\pi \frac{2}{3 }[ (1-1)^{\frac{3}{ 2} }-(1-0)^{\frac{3}{ 2} }]=-\frac{2}{3 }\pi (-1)=\frac{2}{3 }\pi[/tex]