Интересно уравнение x^(x)^(x)^(6)

[iboB]

Не знам в кой форум си заслужава да го напиша това за това го слагам директно тук.

Проблемът ми произлиза от една забавна задача:

Да се намерят реалните корени на уравнението:
[tex]x^{x^{x^{6 } } } = 6[/tex]

Ако ви е интересно да се занимавате със задачата, не четете следващото мнение, в което ще разисквам решението и проблемите му.

[iboB]

Ето как аз реших задачата:

Първо отчетох, че функцията от ляво на знака за равно е растяща (това е малко сложно за показване, но за да не се впускаме в детайли, може по-лесно да се покаже че ако 0<х<1 функцията има стойност по-малка от едно а за х>1 е строго растяща, следователно, ако уравнението има положителен корен, той е по-голям от едно). С елементарен числен метод - двоично търсене, намерих корен 1.348... След известно почесване, открих че това е [tex]6^{\frac{1}{6}}[/tex] и си дадох сметка, че независимо от броя х, това е решение на уравнението (сиреч на всички от вида x^x^x^...^x^6 = 6).

Както и да е. [tex]\pm 6^{\frac{1}{6}}[/tex] са корени. Ако има други корени, те не са положителни. Лесно се показва че не са и цели.

Но на останалите отрицателни - не цели - удрям на камък. Огромна част от отрицателните дробни числа повдигнати на степен дават само комплексни стойности, следователно числените методи не работят. Все пак нямам гаранция че не съществува реално отрицателно число, за което това да е вярно. Със сигурност съществуват реални числа, които повдигнати на реална степен да дават рационални и цели числа, но не знам нищо за техните брой, честота и гъстота. Или поне не достатъчно, че да отхвърля възможността уравнението да има други корени - дробни и отрицателни. Всички примери, които ми хрумват са с положителни числа. Задължително ли е, например, отрицателни дробни числа, повдигнати на дробна степен да дават комплексни числа?

Помощ?