Задачи

[didulcho]

1lim?(cotg2x)?^(1/lnx)
x-> 0^+
2.
а) да се формулира теоремата на Рол
Б)нека функцията f(x) , f'(x)?0 за всяко x?(a,b). Да се докаже,че уравнението f(x)=0 има не повече от един корен в (a,b)
3.
?? ln? (x )/[(x+1)^2] dx
4.да се намерят екстремумите на
z=x^3+8y^3-6xy+5
някой може ли да ги реши, една позната ме помоли да ги реша, ама нямам време да ги погледна.

[martin123456]

2
a)
ако функцията [tex]f(x)[/tex] е непрек в кр и затворен [tex][a,b][/tex] и диференцируема в [tex](a,b)[/tex] и ако [tex]f(a)=f(b)[/tex], то съществува поне една [tex]\epsilon \in (a,b):\hspace{2mm}f'(\epsilon)=0[/tex]
b)
prедполагам става за непрек в [tex][a,b][/tex] и дифер в [tex](a,b)[/tex] функция
да доп, че има 2 корена там -[tex]a<x_1<x_2<b[/tex]. тогава [tex]f(x_1)=f(x_2)=0[/tex] и функцията е непрек и диференцируема в [tex][x_1,x_2][/tex]. тогава от т-мата на рол => съществува [tex]\epsilon \in [x_1,x_2][/tex]: [tex]f'(\epsilon)=0[/tex]. нот това противоречи с б)

[martin123456]

3.

[tex]\int{\frac{\ln{x}}{(x+1)^2}dx}[/tex] ли
ако да [tex]=-\int{\ln{x}d(x+1)^{-1}}=-\frac{\ln{x}}{x+1}+\int{(x+1)^{-1}d\ln{x}}=-\frac{\ln{x}}{x+1}+\int{\frac{1}{x(x+1)}dx}=-\frac{\ln{x}}{x+1}+\int{(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx}=[/tex][tex]-\frac{\ln{x}}{x+1}+\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\frac{1}{x+1}dx}=-\frac{\ln{x}}{x+1}+\ln{|x|}-\ln{|x+1|}[/tex]