Интересен интеграл

[JuicyJ]

Здравейте

Може ли някойда ми помогне със следната задача - [tex]\int_{}^{ } \frac{1+\sqrt{X} }{1+X}dx[/tex]

Трябва да се пресметне интегралът чрез полагане,а нещо не получавам верният отговор.

[martin123456]

[tex]\sqrt{x}=y[/tex]. [tex]2\int{\frac{1+y}{1+y^2}dy=2\int{\frac{1}{1+y^2}dy}+2\int{\frac{y}{1+y^2}dy}=2arctg{y}+\ln{(1+y^2)}=2arctg\sqrt{x}+\ln(1+x)[/tex]

[JuicyJ]

Като положа dx с [tex]\sqrt{X} = y[/tex] не се ли получава 2уdy ?

[martin123456]

да, сгрешил съм
[tex]2\int{\frac{y+y^2}{1+y^2}dy=2+2\int{\frac{y-1}{1+y^2}dy}=2+2\int{\frac{y}{1+y^2}dy}-2arctgy[/tex]

[JuicyJ]

пф , това малко не го разбрах ,но ще се помъча . То пък отговорът е [tex]2\sqrt{X} + ln(1+X)-2arctg\sqrt{X} + C[/tex]

Явно е съркано в учебникът.Благодаря Ви

[martin123456]

и пак съм сгрешил. сега излезна
[tex]2\int{\frac{y+y^2}{1+y^2}dy=\int{\frac{y-1+1+y^2}{1+y^2}dy}=2y+2\int{\frac{y-1}{1+y^2}dy}=2y+2\int{\frac{y}{1+y^2}dy}-2arctgy[/tex][tex]=2y+\ln{(1+y^2)}-2arctgy=2\sqrt{x}+\ln{(1+x)}-2arctg\sqrt{x}[/tex]

[JuicyJ]

Супер си ,благодаря ти много .

Може ли да попитам още нещичко - как става това превръщане ? - > ... [tex]2\int_{}^{ }\frac{t^{2}}{t-1 }dt[/tex] = [tex]2\int_{}^{ } (t+1+\frac{1}{t-1 } )dt[/tex] ...

[martin123456]

[tex]\frac{t^2}{t-1}=\frac{t^2-1+1}{t-1}=\frac{(t+1)(t-1)+1}{t-1}=t+1+\frac{1}{t-1}[/tex]
идеята е в числител да се среща като множител знаменателя и после използваме [tex]\frac{ac+b}{c}=a+\frac{b}{c}[/tex]

[JuicyJ]

и пак съм сгрешил. сега излезна
[tex]2\int{\frac{y+y^2}{1+y^2}dy=\int{\frac{y-1+1+y^2}{1+y^2}dy}=2y+2\int{\frac{y-1}{1+y^2}dy}=2y+2\int{\frac{y}{1+y^2}dy}-2arctgy[/tex][tex]=2y+\ln{(1+y^2)}-2arctgy=2\sqrt{x}+\ln{(1+x)}-2arctg\sqrt{x}[/tex]

как се получи това 2у+2 пред интегралът.Не се ли изнасят само константи ? Ако не , как се получава ?

[martin123456]

[tex]\int{\frac{y-1+1+y^2}{1+y^2}dy}=\int{(\frac{y-1}{1+y^2}+1)dy}[/tex]. сега използвам [tex]\int{(f(x)+g(x))dx}=\int{f(x)dx}+\int{g(x)dx}[/tex]
не е [tex]1+2y[/tex] а е 1+2y по интеграла

[JuicyJ]

[quote="martin123456"][tex]\int{\frac{y-1+1+y^2}{1+y^2}dy}=\int{(\frac{y-1}{1+y^2}+1)dy}[/tex].

ще ми обясниш ли как става това разлагане , не мога да го докарам нещо ..

[martin123456]

[tex]\int{\frac{y-1+1+y^2}{1+y^2}dy}=\int{(\frac{y-1}{1+y^2}+1)dy}[/tex].

ще ми обясниш ли как става това разлагане , не мога да го докарам нещо ..

[tex]\frac{(y-1)+(1+y^2)}{1+y^2}=\frac{y-1}{1+y^2}+1[/tex]

[JuicyJ]

тенкю

[JuicyJ]

ако не ставам нахален да попитам и още нещо - в една задача срещам преобразуванието sin2x=2sinxcosx ? Вярно ли е ? ако да , и за косинос ли се отнася ?
и второто ми питане е - х=2сost => [tex]t=arccos\frac{X}{2 }[/tex]

[martin123456]

[tex[\sin2x=2\sin{x}\cos{x}[/tex] е винаги вярно, за косунус не се отнася
второто също е вярно

това са тригонометрични тъждества и преобразувания. можеш да ги видиш някъде. не е проблем да ме питаш

[JuicyJ]

а това с аркусите от къде мога да ги видя ?

[martin123456]

oт дефиницията на арктангенс

[JuicyJ]

Може ли малко помощ за тези две задачки-в условието пише ,че се решават чрез полагане .

1) [tex]\int_{}^{ } \frac{\sqrt{9-4x^{2 }} }{x^{2} }[/tex]dx

2) [tex]\int_{}^{ } arctg\sqrt{x}[/tex]dx

[JuicyJ]

моля помогнете ..

[martin123456]

[tex]\int{arctgydy^2}=y^2arctgy-\int{y^2darctgy}=y^2arctgy-\int{\frac{y^2}{y^2+1}dy}=y^2arctgy-\int{\frac{y^2+1-1}{y^2+1}dy}[/tex]
[tex]y^2arctgy-y+\int{\frac{1}{y^2+1}dy}=y^2arctgy-y+arctgy[/tex]

[mcjj]

Извинете че тук пускам задачка ,но не искам да правя безброй теми
Ето я и нея
[tex]\int_{}^{ } \frac{2x-1}{x^{2 }-3x+2 }[/tex] dx

Накой ще може ли да ми помогне за тази дроб :/ отг е : Ln[tex]\frac{(x-3)^{2 }}{x-1}[/tex]

[R Flavius]

[tex]\frac{2x-1}{ x^{2}-3x+2}=\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x-1}[/tex] Разлагане на дробно-рационална функция
[tex]=>\int_{}^{ } \frac{2x-1}{x^2-3x+2}dx=3\int_{}^{ } \frac{d(x-2)}{x-2}-\int_{}^{ } \frac{d(x-1)}{x-1 }=3ln|x-2|-ln|x-1|+C=ln\frac{(x-2)^3}{x-1}+C[/tex]

[stflyfisher]

Може ли малко помощ за тези две задачки-в условието пише ,че се решават чрез полагане .
1) [tex]\int_{}^{ } \frac{\sqrt{9-4x^{2 }} }{x^{2} }dx[/tex]

Интеграли от вида:

[tex]\int R(x, \sqrt{a^2-x^2})dx[/tex], където [tex]R[/tex] е рационална функция на [tex]x[/tex] и [tex]\sqrt{a^2-x^2}[/tex] , се решават със субституцията:
[tex]x=asint=> t=arcsin (\frac{x}{a}), dx=acostdt[/tex] (или [tex]x=acost=>t=arccos (\frac{x}{a}), dx=-asintdt[/tex])

След полагането се достига до интеграли от вида:

[tex]\int R(sinx,cosx)dx[/tex], където [tex]R[/tex] е рационална функция на [tex]sinx[/tex] и [tex]cosx[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{\sqrt{9-4x^{2 }} }{x^{2} }dx=2\int_{}^{ } \frac{\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}-x^{2 }} }{x^{2} }dx=[/tex]

[tex]x= \frac{3}{2}sint=>dx=\frac{3}{2}cosdt, t= arcsin (\frac{2x}{3})[/tex]

[tex]=2\int_{}^{ } \frac{\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}sin^2t} }{(\frac{3}{2})^{2}sin^{2}t }.\frac{3}{2}costdt=2\int_{}^{ } \frac{\sqrt{1-sin^2t} }{sin^{2}t }.costdt=2\int \frac{cos^2t}{sin^2t}dt=...[/tex]

[Flame]

Може ли малко помощ за тези две задачки-в условието пише ,че се решават чрез полагане .
1) [tex]\int_{}^{ } \frac{\sqrt{9-4x^{2 }} }{x^{2} }[/tex]dx

Това излиза моментално по части.
1) [tex]\int_{}^{ } \frac{\sqrt{9-4x^{2 }} }{x^{2} }dx=-\int \sqrt{9-4x^{2 }}d\frac{1}{x}=[/tex]
[tex]I=-\sqrt{9-4x^{2 }}.\frac{1}{x}-(-1).\int_{}^{ } \frac{-2.4x}{ 2.\sqrt{9-4 x^{2}}}.\frac{1}{x }dx[/tex]
[tex]I=-\frac{\sqrt{9-4x^{2 }}}{x}-\int \frac{4}{ \sqrt{9-4 x^{2}}}dx[/tex]
[tex]I=-\frac{\sqrt{9-4x^{2 }}}{x}-\int \frac{4}{ 3 \sqrt{1-{(\frac{2 x}{3 })}^{2}}}dx[/tex]
[tex]I=-\frac{\sqrt{9-4x^{2 }}}{x}-2.\int \frac{1}{\sqrt{1-{(\frac{2 x}{3 })}^{2}}}d\frac{2x}{3}[/tex]
[tex]I=-\frac{\sqrt{9-4x^{2 }}}{x}-2.arcsin{\frac{2x}{3}}+C[/tex]