Задачи по Алгебра (Висша математика)

[svtelana89]

Моля помогнете спешно е! Благодаря предварително.

Задача1: Да се изрази cosdx чрез cosx и sinx

Задача2: Нека Е(епсилон) е примитижен m-ти корен на единицата. Да се пеесметне сумата 1+2Е(епсилон)+....+m[tex]E^{m-1}[/tex], където m=6.

Задача3: Нека p е най-малкият прост делител на числото d+m. Да се докаже че ако редът на групата G е p+m, то в нея има елемент от ред p, където d=30, а m=6.

Задача4: Нека a и b са елементи на мултипликативната група G. Да се докаже, че елементите ab и ba имат равни редове.

Задача5: В непразното множество G е дефинирана бинарна алгебрична операция умножение, която е асоциативна и позжолява съкращаване отляво(т.е. от g[tex]h_{1}[/tex] = g[tex]h_{2}[/tex] следва [tex]h_{1}[/tex] = [tex]h_{2}[/tex] за произволни g,[tex]h_{1}[/tex],[tex]h_{2}[/tex]принадлежат на G). Освен това в G има елемент a със свойството [tex]x^{3}[/tex] = axa за всяко x принадлежи на G. Да се докаже, че G е мултипликативна абелева група.

[Добромир Глухаров]

Задача 2:
[tex]S=\sum_{k=1}^{6 } kE^{k-1}=\sum_{k=1}^{6 } (k-1+1)E^{k-1}=\sum_{k=1}^{6 } (k-1)E^{k-1}+\sum_{k=1}^{6 } E^{k-1}=E\sum_{k=1}^{5 } kE^{k-1}+\frac{E^6-1}{E-1 } =E(S-6E^5)+\frac{E^6-1}{E-1 }[/tex]
[tex](E-1)S=6E^6-\frac{E^6-1}{E-1 } \Rightarrow S=\frac{6E^7-7E^6+1}{(E-1)^2 }[/tex]
[tex]E^6=1,\ E^7=E \Rightarrow S=\frac{6E-7+1}{(E-1)^2 } =6\frac{E-1}{(E-1)^2 }[/tex]
[tex]S=\frac{6}{E-1 }[/tex]

[Добромир Глухаров]

Задача1:
[tex](cosx+i.sinx)^d=cosdx+i.sindx[/tex]
[tex]cosdx=\sum_{k=0}^{\[\frac{d}{2 }\] } (-1)^k.\left(\begin{array}{c}d\\2k\end{array}\right).cos^{d-2k}x.sin^{2k}x[/tex]

[martin123456]

d+m=36,p=2
p+m=8
значи група с 8 елемента. да се док че в нея има елемент с ред 2. редът на всеки елемент в групата е делител на 8, значи 1,2,4 или 8. да доп че няма елемент с ред 2.
тъй като е група, има елемент с ред 1 - единичният.
ако има елемент с ред 8, то елементите са e, x, x^2, x^3,...,x^7 и тогава x^4 има ред 2
ако няма елемент с ред 8, то всеки елемент е с ред 4, с изключение на единичния. значи групата ако има елемент x, различен от единичния, то и x^2,x^3 са в нея. но тогава x^2 има ред 2.

[Baronov]

4. Нека [tex](ab)^n=1[/tex]. Тогава [tex]abab.....ab=1[/tex], т.е. [tex]b^{-1}=abab....ba => baba....ba=1 => (ba)^n=1 => |ab| \geq |ba|[/tex]. Аналогично получаваме и обратното неравенство и задачата следва.

[nikko]

зад 5. За да е G абелова група трябва да се докаже:
1) операцията е асоциативна и вътрешна - дадено е от условието;
2) съществува неутрален елемент (единица);
3) всеки различен от единицата има единствен обратен;
4) умножението е комутативна операция.

Първо да използваме основното свойство [tex]x^3=axa[/tex] за елемента [tex]a^2[/tex], имаме [tex]a^6=a^4[/tex] и след като можем да съкратим леви равни множители достигаме до [tex]\color{red}a^3=a.[/tex]

2) Нека [tex]x\in G[/tex] - произволен елемент. Имаме [tex]x^3=axa[/tex] освен това според основното равенство
[tex]axaxax=(ax)^3=aaxa[/tex] съкръщаваме ляв множител [tex]a[/tex] и получаваме [tex]xaxax=axa=x^3[/tex].
Разписваме лявата страна [tex]xaxax=x(axa)x=x.x^3.x=x^5=x^3[/tex], съкръщаваме два пъти ляв множител [tex]x[/tex] и тогава [tex]\color{red}axa=x^3=x.[/tex]
Разглеждаме [tex]a^2x=a^2.a.x.a=a^3xa=axa=x[/tex] и
[tex]xa^2=axaa^2=axa^3=axa=x[/tex] или [tex]x.a^2=a^2.x=x[/tex] и значи [tex]a^2[/tex] е единичен елемент.
3) Търсим обратен елемент. Ще докажем, че обратен на [tex]x[/tex] е [tex]x[/tex].
От 2) имаме [tex]x=x^3=xa^2[/tex] или [tex]x^3=xa^2[/tex] и съкръщаваме ляв множител [tex]x[/tex], получаваме
[tex]\color{red}x^2=x.x=a^2[/tex] - единичен елемент. Тогава за всяко [tex]x\neq a^2\in G[/tex] съществува единствено [tex]x^{-1}=x[/tex], такова че [tex]x.x=x.x^{-1}=x^{-1}.x=a^2[/tex] - единица.
4) Нека [tex]x,\;y\in G.[/tex] Трябва да докажем, че [tex]xy=yx[/tex] или еквиваленто [tex]x^{-1}y^{-1}xy=xyxy=(xy)^2=a^2[/tex].
Но [tex]xy\in G[/tex] и според 3) [tex](xy)^2=a^2[/tex] и комутативността е доказана.