Задачка

[Mr.G{}{}Fy]

Вътрешната и външната ъглополовяща при върха [tex]A[/tex] на триъгълника [tex]ABC[/tex] пресичат правата [tex]BC[/tex] съответно в точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex].Да се докаже,че за всяка точка P от окръжността с диаметър [tex]MN[/tex] е вярно равенството [tex]\frac{PB}{PC } =\frac{AB}{AC }[/tex]

[ganka simeonova]

Вътрешната и външната ъглополовяща при върха [tex]A[/tex] на триъгълника [tex]ABC[/tex] пресичат правата [tex]BC[/tex] съответно в точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex].Да се докаже,че за всяка точка P от окръжността с диаметър [tex]MN[/tex] е вярно равенството [tex]\frac{PB}{PC } =\frac{AB}{AC }[/tex]

Може и да греша, но нещо не ми се струва читаво заключението на задачата.

[Mr.G{}{}Fy]

Ами,сега пак проверих условието и си е така,както съм го написал.

[martosss]

Тук трябва да се съглася с г-жа Симеонова - отношението АВ/АС е константно, докато с местенето на точка Р другото отношение се променя.. така че това не може да е вярно...

[Xixibg]

Не сте прави.Другото отношение не се променя.Помислете малко.
[tex]P\in k[/tex].Ако[tex]P\equiv A ; =>\frac{PB}{PC}=\frac{PA}{PC}[/tex]
Ако[tex]P\equiv M ; =>\frac{PB}{PC}=\frac{MB}{MC}=\frac{PA}{PC}[/tex] ,което е вярно от свойствата на ъглополовящата...

[Xixibg]

Доказва се лесно , че за [tex]P\in k ; PM[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BMC[/tex] ,което доказва и задачата.Ако не може да се справите кажете да пусна решение....

[ganka simeonova]

Доказва се лесно , че за [tex]P\in k ; PM[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BMC[/tex] ,което доказва и задачата.Ако не може да се справите кажете да пусна решение....

[tex]\angle BPC[/tex], предполагам:)
Сори, аз съм прочела на диаметъра MN, не от окръжността с диаметър MN:)))

[Mr.G{}{}Fy]

Да, [tex]\angle BPC[/tex] е имал предвид.Иначе задачата си е коректна,просто искам да видя вашите предложения за решение.

[Xixibg]

ДА съжалявам,
Точно [tex]\angle BPC[/tex] имах предвид.

[martosss]

Трябва да докажеш, че без значение от позицията на точка Р, РМ и PN са ъглополовящи, откъдето следват отношения, и тези отношения се пренасят през BMCN, за да стигнат до АВ/АС.
Прикачвам чертеж и файл, погледни 5-та лема - имаш ъгъл 90 -MPN, освен това би трябвало (ВСMN) да е 1(понеже MB/MC=NB/NC от факта, че AM и AN са ъглополовящи).
Препоръчвам ти да разгледаш файла и по-конкретно 5-та лема
Ако има въпроси, питай това е доста интересна теория, която за съжаление не съм усъвършенствал, но важното е да знаеш къде да я намериш, когато ти трябва

За съжаление, след като поразгледах док-файла, осъзнах, че всъщност няма доказателство защо от перпендикулярност и (АВСД)=1 следва, че PN е ъглополовяща... явно ще трябва доказателство

[Mr.G{}{}Fy]

Благодаря,за отделеното време.Този файл ще го прочета и дано да разбера работите от там.Иначе решения имам(авторовото) просто исках да видя и друго.Затова ще се радвам,ако xixibg даде неговото,а после и аз да кажа това,което аз имам.

[martosss]

Ами всъщност след малко блъскане успях да го докажа ...
Значи от ъглопловящите АМ и AN имаме BM/MC=NM/NC=AC/BC
Сега имаме следните уравнения:
[tex]S_{CMP}=\frac{CM*h}{2}=\frac{CP*MP*\sin\angle CPM}{2}[/tex]
[tex]S_{BMP}=\frac{BM*h}{2}=\frac{MP*BP*\sin\angle BPM}{2}[/tex]
[tex]S_{NCP}=\frac{NC*h}{2}=\frac{CP*NP*\sin\angle NPC}{2}[/tex]
[tex]S_{BNP}=\frac{BN*h}{2}=\frac{BP*NP*\sin\angle BPN}{2}[/tex]

Сега имаме [tex]\frac{\frac{CM}{BM}}{\frac{CN}{BN}}=1[/tex] => [tex]\frac{\frac{\sin\angle BPM}{\sin\angle CPM}}{\frac{\sin\angle BPN}{\sin\angle NPC}}=1[/tex](отсечките се съкращават и остават само ъглите)
Сега ако означим [tex]\angle BPM=\alp, \angle MPC=\be[/tex] =>[tex]\frac{\frac{\sin \alp}{\sin\be}}{\frac{\sin(90^\circ +\alp )}{\sin(90^\circ -\be )}}=1\Right \frac{\sin\alp}{\sin\be}=\frac{\cos\alp}{\cos\be}\Right \sin(\alp -\be )=0\Right \alp=\be[/tex]
Оттук ВРС е ъглополовяща
Използвам идеята от файла да се пренесат отношенията между отсечките ВМСN в отношения между ъглите при точка Р.
Освен това се използва правият ъгъл MPN. Това е и доказателството на част от лема 5 от файла.

[Xixibg]

Браво martosss,
Няма да пиша моето решение ,защото принципът е същият използван в горният пост.Ще напиша само няколко допълнителни неща които ще са от полза на читателите:


Нека [tex]AB=c , AC=b , BC=a ; (c > b) ; AM,AN[/tex] са вътрешната и външната ъглополовящи на [tex]\angle BAC ; M,N\in BC[/tex]
От свойствата на ъглополовящите следва:
[tex]BM=\frac{ac}{b+c} ; MC=\frac{ab}{b+c} ; CN=\frac{ab}{c-b} ; BN=\frac{ac}{c-b} , MN=\frac{2abc}{c^2-b^2}[/tex]

[tex]\angle BPM=\alp, \angle MPC=\be[/tex]
[tex]\frac{\sin \alp}{\sin\be}={\frac{\sin(90^\circ +\alp )}{\sin(90^\circ -\be )}}=\frac{cos\alpha }{cos\beta}[/tex]
[tex]=> tg \alpha =tg \beta ;\alpha<90^\circ ;\beta <90^\circ => \alpha =\beta[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Решението,което аз имам е с построение на успоредна права през B на CP (ако AC>BA).Иначе се радвам,че излезе и друго решение.Между другото задачата е за 9 клас от учебник(просто за протокола).

[martosss]

И с какво точно ни помага тази права? O.o

[Xixibg]

Решението,което аз имам е с построение на успоредна права през B на CP (ако AC>BA).Иначе се радвам,че излезе и друго решение.Между другото задачата е за 9 клас от учебник(просто за протокола).

Според мен и да построим такава успоредна права пак трябва да доказваме ,че [tex]PM[/tex]е ъглополовяща .Ако бъркам напиши решение....

[Mr.G{}{}Fy]

Естествено,че не бъркаш.Въпросър е,че там се е искало решение с 9-класен материал и затова е това допълнително построение(за да не се използва тригонометрия).Иначе вижте къде тази права пресича AM ... разгледайте подобни триъгълници където може да използвате тези свойства на ъглополовящата,след това пак използвайте подобни триъгълници само,че този път използвате свойството на външната ъглополовяща.След това се използва,че медианата е половината от хипотенузата в правоъгълен триъгълник.Утре вечерта ще постна решение,тъй като тази вечер няма да съм в нас.