2 задачи по ЛА

[the_arrow]

Здравейте! Какъв е алгоритъмът за решаване на 2-ра и 3-та задача от прикачения файл ?

[nikko]

Ето някои указания.
2 зад:
Намираш образите на базисните вектори
[tex]\varphi(e_1)=-3e_1+4e_2+0e_3[/tex]
[tex]\varphi(e_2)=-1e_1+2e_2+0e_3[/tex]
[tex]\varphi(e_3)=xe_1+ye_2+ze_3[/tex]
намираш x,y,z от условието за собствен вектор и така ще определиш собствената стойност на v и матрицата на оператора спрямо базиса e_1, e_2, v, което ти дава a)
б) и в) са стандартни

3 зад
Взимаш базис на ядрото [tex]w_2,\dots,w_{n}\in\text{Ker}\varphi[/tex] и допълваш до пълен базис с още един вектор [tex]w_1[/tex].Сега като имаш предвид, че [tex]\varphi(w_i)=0\ \ \forall 2\leq i\leq n[/tex] остава да намериш [tex]\varphi(a_1w_1+\dots+a_{n-1}w_{n-1}+a_nw_n)[/tex] и да се убедиш, че [tex]\varphi(a_1w_1+\dots+a_{n-1}w_{n-1}+a_nw_n)=\lambda(a_1w_1+\dots+a_{n-1}w_{n-1}+a_nw_n)[/tex] с което се доказва а)

За б) преминаваш от базиса [tex]e_1,\dots,e_n[/tex] към [tex]w_1,\dots,w_{n}[/tex] и имаш, че матрицата в новия базис е
[tex](b_{ij})=B=T^{-1}A.T[/tex], т.е. спрегната на [tex]A[/tex], което показва, че следите им съвпадат, т.е. [tex]\text{Tr}(B)=\text{Tr}(A)=a_{11}+\dots+a_{nn}[/tex] и след като
[tex]\varphi(w_1)=\lambda w_1[/tex], [tex]\varphi(w_i)=0 \ \ \forall 2\leq i\leq n[/tex] се вижда, че B има точно вида указан в условието.